$\int e^{x+e^x}dx=?$

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হলো: \( \int e^{x+e^x} dx \)

প্রথমে, সূচকের নিয়ম ব্যবহার করে ইন্টিগ্রান্ডের (integrand) রাশিটিকে আমরা ভাঙতে পারি:

\( e^{x+e^x} = e^x \cdot e^{e^x} \)

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়:

\( \int e^{e^x} \cdot e^x dx \)

এখন, প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (substitution method) ব্যবহার করে আমরা ইন্টিগ্রালটি সমাধান করব।

ধরি, \( u = e^x \)

উভয় পক্ষকে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করলে পাই:

\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x) \)

\( \frac{du}{dx} = e^x \)

সুতরাং, \( du = e^x dx \)

এখন, ইন্টিগ্রালটিতে \( u \) এবং \( du \) এর মান প্রতিস্থাপন করি:

\( \int e^{e^x} \cdot e^x dx = \int e^u du \)

আমরা জানি যে, \( \int e^u du = e^u + C \), যেখানে \( C \) হলো ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক (constant of integration)।

সবশেষে, \( u \) এর মান \( e^x \) পুনরায় বসিয়ে পাই:

\( e^{e^x} + C \)

অতএব, ইন্টিগ্রালটির সঠিক সমাধান হলো \( e^{e^x} + C \)।

প্রদত্ত অপশনগুলো পর্যালোচনা করে দেখা যায় যে, কোনো অপশনই আমাদের প্রাপ্ত সঠিক সমাধানের সাথে মেলে না।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।